二维各向异性扩散问题数值求解：线性精确方法与有限体积格式研究

本文研究二维各向异性扩散问题的数值求解。借助线性精确方法，我们提出了一些通用任意多边形网格上的单位中心有限体积方案。线性精确方法是一种适用于扭曲网格上的离散扩散的方法。方程的启发式方法，要求当扩散方程的解析解是关于自变量的线性函数且扩散系数为常数值时，精确地建立每个离散步骤。有文献指出，破坏线性精确特性可能会导致扭曲网格上的精度丢失，因此我们以线性精确准则作为设计方案的出发点。我们首先介绍在任意多边形网格上构造有限体积方案的通用框架。使用这个通用框架，我们重新推导了传统的九点方案以及多点流近似（MPFA）格式。然后基于这个总体框架，我们构建了两种以单元为中心的有限体积格式。第一种是基于 MPFA 插值的有限体积格式。这种格式最重要的特点是有两个辅助点（或连续点），因此我们用两个相邻单元的中心量和该边上的两个辅助量来明确表示每条边上的法向流。通过MPFA插值技术消除辅助未知量，使格式成为完整的以单元为中心的格式。二是基于调和中点的基A有限体积方案，满足局部守恒，计算模板紧凑，是结构四边形网格上的九点方案。我们采用离散泛函分析方法，基于几个易于验证的假设，从理论上分析了格子公式的稳定性。最后，基于梯度重建算法，我们在此总体框架下推导了一类以单位为中心的格式，并检验了该类型格式与一些现有格式（包括本文提出的前两种格式）之间的关系。 。本文的每一章都提供了一些数值示例，用于检验新格式的准确性和效率。数值结果表明：在非结构化或严重扭曲的网格上，对于任何（连续或不连续、均匀或非均匀）各向异性扩散张量 ，这些方案均具有预期的二阶收敛速度。